题目内容

如图，过Rt△ABC的直角顶点C作圆O，圆O与△ABC的两边AB、BC分别相切于D、C，并交AC边于E．在优弧DE上任取一点F，连接FE、FD，若BC=a，cos∠EFD= $数学公式$ ．
①求证：AD=BD；
②试求∠EDA的大小；
③计算圆O的面积．

（1）证明：连接CD，则∠EFD=∠ECD
在Rt△ACB中
cosA= $\text{[math]}$
∵cos∠EFD= $\text{[math]}$
∴∠A=∠EFD=∠ECD
∴AD=CD
又∵∠ACD+∠BCD=∠A+∠B=90°∴∠B=∠BCD
∴CD=BD
∴AD=BD．

（2）解：∵BC、BD与⊙O相切
∴BC=BD
∵CD=BD
∴△BCD为正三角形
∴∠B=60°，∠A=30°
又∵∠EDA=∠ECD
∴∠EDA=∠A=30°．

（3）解：在Rt△EDC中
∠ECD=30°
∴ED= $\text{[math]}$ EC
∵ED=EA
∴AE= $\text{[math]}$ EC
∴E是AC的三等分点
∵BC=a，tanB= $\text{[math]}$
∴AC= $\text{[math]}$ a
∴⊙O的半径r= $\text{[math]}$ CE= $\text{[math]}$ AC= $\text{[math]}$ a
∴⊙O的面积为S=πr²= $\text{[math]}$ πa²．
分析：（1）作辅助线，连接CD，由圆周角定理可得∠EFD=∠ECD，在Rt△ACB中，cosA= $\text{[math]}$ ，cos∠EFD= $\text{[math]}$ ，可得∠A=∠EFD=∠ECD，AD=CD，可得∠B=∠BCD，故可知CD=BD=AD；
（2）由BC、BD是⊙O的切线，可得BC=BD，而CD=BD，故△BCD为正三角形，∠B=60°，∠A=30°，又∠EDA=∠ECD，故可得∠EDA=∠A=30°；
（3）在Rt△EDC中，∠ECD=30°，可得ED= $\text{[math]}$ EC，而ED=EA，可得E为AC的三平分点，根据BC，tanB的值，可求得AC的长，故求得⊙O的半径为 $\text{[math]}$ AC的长，代入圆的面积公式S=πR²求解即可．
点评：本题考查了圆的切线性质，圆的面积计算及解直角三角形的知识，解题过程中要注意数形结合．