Question

如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3，一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）。

（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）当边FG恰好经过点C时，如图 在Rt中， ∴ ∴ 即 ∴ ∴当边FG恰好经过点C时，。
（2）当时， 当时， 当时， 当时，。
（3）存在，理由如下： 在Rt中， ∴ 又∵ ∴ ∴或 （i）当时，如图 过点E作于M 则 在Rt中， 即 ∴，即或 ∴或。
（ii）当时，如图 则 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，即或 ∴或。
（iii）当时，如图 则 ∴ ∴点E和O重合 ∴，即或 ∴（舍去）或 综上所述，存在5个这样的t值，使是等腰三角形 即。