Question

20．已知m、n是方程x²+2$\sqrt{2}$x+1=0的两根，则代数式$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}+3mn}$值为3．

Answer 1

分析 根据一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到m+n=-2$\sqrt{2}$，mn=1，再变形$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}+3mn}$得$\sqrt{（m+n）^{2}+mn}$，然后把m+n=-2$\sqrt{2}$，mn=1整体代入计算即可．

解答 解：∵m、n是方程x²+2$\sqrt{2}$x+1=0的两根，
∴m+n=-2$\sqrt{2}$，mn=1，
∴$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}+3mn}$=$\sqrt{（m+n）^{2}+mn}$=$\sqrt{（-2\sqrt{2}）^{2}+1}$=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根分别为x₁，x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了二次根式的化简求值．