Question

【题目】如图，等腰Rt△ABC的直角边长为，点O为斜边AB的中点，点P为AB上任意一点，连接PC，以PC为直角边作等腰Rt△PCD，连接BD.

(1)求证： ；

(2)请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由.

(3)当点P在线段AB上运动时，设AP=x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式.

Answer 1

【答案】(1)见解析； (2) AC与BD平行，详见解析；(3) 当点P在线段AO上时，；当点P在线段BO上时，.

【解析】

（1）根据△ABC为等腰直角三角形，可推出△BCO为等腰直角三角形，则，再根据△PCD为等腰直角三角形，得，从而得出结论；

（2）由（1）的结论可得出∠PCO＝∠BCD，再由，可证明△PCO∽△DCB，从而得出∠ABD＝∠BAC＝45°，根据平行线的判定定理可得出AC∥BD；

（3）分两种情况讨论：①当点P在线段AO上时，作PE⊥BD，如图1，根据△ABC为等腰直角三角形，得AB＝4，PO＝2x，BP＝4x，根据△PCO∽△DCB，得，求出BD＝，再求出，根据三角形面积公式即可得出S与x之间的函数关系式；②当点P在线段BO上时，作PE⊥BD，如图2，可知：OP＝x2，BP＝4x，再根据△PCO∽△DCB，可得，得出BD＝，求出PE＝，根据三角形面积公式即可得出S与x之间的函数关系式．

解：(1)∵△ABC为等腰直角三角形，O是AB的中点，

∴∠OCB=∠CBO=45°，∠COB=∠AOC=90°，

∴△BCO为等腰直角三角形，

∴，

∵△PCD为等腰直角三角形

∴，

∴；

(2) AC∥BD，

理由：由(1)可知：∠PCO+∠OCD=∠BCD+∠OCD=45°，

∴∠PCO=∠BCD，

又∵，

∴△PCO∽△DCB，

∴∠CBD=∠AOC=90°，

∴∠ABD=∠BAC=45°，

∴AC∥BD；

(3)分两种情况讨论：

①当点P在线段AO上时，作PE⊥BD，如图1，

∵AC=BC=，△ABC为等腰直角三角形，

∴AB=4，则AO=BO=CO=2，

∴PO=2﹣x，BP=4﹣x，

∵△PCO∽△DCB，

∴，即，

∴BD=，

∵∠PBE=45°，

∴，

∴；

②当点P在线段BO上时，作PE⊥BD，如图2，

可知：OP=x﹣2，BP=4﹣x，

∵△PCO∽△DCB，

∴，即，

∴BD=，

∵∠PBE=45°，

∴，

∴．

综上所述：当点P在线段AO上时，；当点P在线段BO上时，.