Question

【题目】如图，AB=4，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP=60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（ ）．

A.B.C.2D.3

Answer 1

【答案】A

【解析】

连接PM、PN．首先证明∠MPN=90°，设PA=2a，则PB=4-2a，PM=a，PN=(2a)，MN2关于a的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

连接PM、PN．

∵四边形APCD和四边形PBFE是菱形，∠DAP=60°，

∴∠APC=120°，∠EPB=60°，

∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，

∴∠CPM=∠APC=60°，∠EPN=∠EPB=30°，PM⊥AC，PN⊥BE，

∴∠MPN=60°+30°=90°，

∵∠CAP=∠DAP=30°，∠PBN=∠PBE=30°，

∴设PA=2a，则PB=42a，PM=a，PN=(2a)，

∴MN2===，

∴当a=时，点M，N之间的距离最短，最短距离为．

故选A．