题目内容

在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且AB=10，点M为线段AB的中点．
（1）如图1，线段OM的长度为______；
（2）如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ACB，当点C在第一象限时，求直线OC所对应的函数的解析式；
（3）如图3，设点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上，且DE=10，以DE为边在第三象限内作正方形DGFE，请求出线段MG长度的最大值，并直接写出此时直线MG所对应的函数的解析式．

解：（1）∵在Rt△OAB中，AB=10，点M为线段AB的中点，
∴线段OM的长度为5；

（2）如图2，过点C分别作CP⊥x轴于P，CQ⊥y轴于Q．
∴∠CQB=∠CPA=90°，
∵∠QOP=90°，
∴∠QCP=90°．
∵∠BCA=90°，
∴∠BCQ=∠ACP．
∵三角形ACB是以AB为斜边的等腰直角三角形，
∴BC=AC，
在△BCQ与△ACP中，
$\text{[math]}$
∴△BCQ≌△ACP（AAS）．
∴CQ=CP．
∵点C在第一象限，
∴不妨设C点的坐标为（a，a）（其中a≠0）．
设直线OC所对应的函数解析式为y=kx，
∴a=ka，解得k=1，
∴直线OC所对应的函数解析式为y=x．

（3）取DE的中点N，连结ON、NG、OM．
∵∠AOB=90°，
∴OM= $\text{[math]}$ AB=5．
同理ON=5．
∵正方形DGFE，N为DE中点，DE=10，
∴NG= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =5 $\text{[math]}$ ．
在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图3），
由于∠DNG的大小为定值，只要∠DON= $\text{[math]}$ ∠DNG，且M、N关于点O中心对称时，M、O、N、G四点共线，此时等号成立（如图4）．
∴线段MG取最大值10+5 $\text{[math]}$ ．
此时直线MG的解析式y= $\text{[math]}$ x．
故答案为：5．
分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线与斜边的关系即可求解；
（2）如图2，过点C分别作CP⊥x轴于P，CQ⊥y轴于Q．根据AAS证明△BCQ≌△ACP，根据全等三角形的性质得到CQ=CP，可设C点的坐标为（a，a）（其中a≠0）．根据待定系数法得到直线OC所对应的函数的解析式；
（3）取DE的中点N，连结ON、NG、OM．根据勾股定理可得NG=5 $\text{[math]}$ ．在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图3），M、O、N、G四点共线，此时等号成立（如图4）．可得线段MG取最大值10+5 $\text{[math]}$ ．再根据待定系数法得到直线MG所对应的函数的解析式．
点评：考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法，勾股定理，四点共线的最值问题，综合性较强，难度较大．