Question

13．如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=50km，∠CAB=25°，∠CBA=45°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．
（Ⅰ）求改直的公路AB的长；
（Ⅱ）问公路改直后比原来缩短了多少km？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，$\sqrt{2}$取1.414）（结果保留小数点后一位）

Answer 1

分析 （1）过点C作CD⊥AB与D，根据AC=50千米，∠CAB=25°，求出CD、AD，根据∠CBA=45°，求出BD、BC，最后根据AB=AD+BD列式计算即可，
（2）根据AC和BC的长度，即可得出公路改直后该段路程比原来缩短的路程．

解答 解：（1）过点C作CD⊥AB与D，
∵AC=50千米，∠CAB=25°，
∴CD=sin∠CAB•AC=sin25°×50≈0.42×50=21（千米），
AD=cos∠CAB•AC=cos25°×50≈0.91×50=45.5（千米），
∵∠CBA=45°，
∴BD=CD=21（千米），
BC=$\frac{CD}{sin∠CBA}$=$\frac{21}{sin45°}$≈29.7（千米），
∴AB=AD+BD=45.5+29.7=75.2（千米），

（2）∵AC=50千米，BC=29.7千米，
∴公路改直后该段路程比原来缩短50+29.7-76.7=3千米．

点评 此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．