Question

如图，一次函数y=-

2

3

x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．
（1）点A的坐标是（

3

，

0

 ），点B的坐标是（

0

，

2

 ）
（2）求Rt△ABC的面积．
（3）求过B、C两点直线的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据坐标轴上的点的坐标特征，结合一次函数的解析式求出A、B两点的坐标；
（2）根据（1）中所求得出AO，BO的长，即可得出AB的长，再利用等腰直角三角形的性质得出Rt△ABC的面积；
（3）作CD⊥x轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA=CD，AD=OB，故可得出C点坐标，再用待定系数法即可求出直线BC的解析式．

解答：解：（1）一次函数y=-

2

3

x+2中，
令y=0，解得x=3．                            
则点A的坐标是（3，0）．
令x=0得y=2． 
则点B的坐标是（0，2）；
故答案为：3，0，0，2；

（2）∵点A的坐标是（3，0），点B的坐标是（0，2），
∴BO=2，AO=3，
∴AB=

22+32

=

13

，
∵以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，
∴AC=AB=

13

，
∴Rt△ABC的面积为：

1

2

×

13

×

13

=

13

2

；                    
                     
（3）如图所示：作CD⊥x轴于点D．
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAO，
在△ABO与△CAD中，

∠BOA=∠CDA=90° ∠ACD=∠BAO AB=AC

，
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴AD=OB=2，CD=OA=3，
∴OD=OA+AD=5．
则点C的坐标是（5，3）．                       
设直线BC的解析式是y=kx+b，
根据题意得：

b=2 5k+b=3

，
解得：

k= 1 5 b=2

．                               
则直线BC的解析式是：y=

1

5

x+2．

点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．