题目内容

如图，一次函数y=-
3
x+
3
的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为精英家教网直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，
3
2
），试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；
（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q？若存在，请写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）先求出A、B两点的坐标，再由一个角等于30°，求出AC的长，从而计算出面积；
（2）过P作PD⊥x轴，垂足为D，先求出梯形ODPB的面积和△AOB的面积之和，再减去△APD的面积，即是△APB的面积；根据△APB与△ABC面积相等，求得m的值；
（3）假设存在点Q，使△QAB是等腰三角形，求出Q点的坐标即可．
解答：精英家教网解：
（1）∵一次函数的解析式为y=-
3
x+
3
函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（1，0），B（0，
3
），
∴AB=2，
设AC=x，则BC=2x，由勾股定理得，4x2-x2=4，
解得x=
2
3
3
，S△ABC=
2×
2
3
3
2
=
2
3
3
；

（2）过P作PD⊥x轴，垂足为D，
精英家教网S△APB=S梯形ODPB+S△AOB-S△APD=
-(
3
2
+
3
)m
2
+
3
•1
2
-
3
2
(1-m)=-
3
2
m+
3
4
，
-
3
2
m+
3
4
=
2
3
3
，解得m=-
5
6
；

（3）∵AB=
OA2+OB2
=2，
∴当AQ=AB时，点Q1（3，0），Q2（-1，0），Q3（0，-
3
）；
当AB=BQ时，点Q4（0，
3
+2），Q2（0，
3
-2），Q2（-1，0）；
当AQ=BQ时，点Q6（0，
3
3
），Q2（-1，0），
综上可得：（0，
3
-2），（0，
3
+2），（-1，0）（3，0），（0，-
3
），（0，
3
3
）
点评：此题主要考查平面直角坐标系中图形的面积的求法．解答此题的关键是根据一次函数的特点，分别求出各点的坐标再计算．
练习册系列答案
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精英家教网如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=
m
x
的图象交于点P，点P在第一象限．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S△PBD=4，
OC
OA
=
1
2
．
（1）求点D的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
精英家教网已知，如图，一次函数y1=-x-1与反比例函数y2=-
2
x
图象相交于点A（-2，1）、B（1，-2），则使y1＞y2的x的取值范围是（　　）
A、x＞1
B、x＜-2或0＜x＜1
C、-2＜x＜1
D、-2＜x＜0或x＞1
13、如图，一次函数y=kx+b（k＜0）的图象经过点A．当y＜3时，x的取值范围是
x＞2
．
（2013•成都）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数y2=
kx
（k为常数，且k≠0）的图象都经过点
A（m，2）
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
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如图，一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与反比例函数y=
4x
(x＞0)的图象交于点C，CD⊥x轴于点D，求四边形OBCD的面积．

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