Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，O为AB上一点，以O为圆心，OA为半径作圆O与BC相切于点D，分别交AC、AB于E、F，若CD=2CE=4，则⊙O的直径为

10

．

Answer 1

分析：先求半径，连接OD，过O作AC的垂线，设垂足为G；先用切割线定理求出AC的长，即可得出AE，易知四边形ODCG是矩形，根据垂径定理，求得AE的一半，再根据四边形ODCG是矩形，即可得出半径，就能算出直径．

解答：
解：连接OD，过O作AC的垂线，设垂足为G，
∵∠C=90°，
∴∠C=∠OGC=∠ODC=90°，
∴四边形ODCG是矩形，
∵CD是切线，CEA是割线，
∴CD²=CE•CA，
∵CD=2CE=4，
∴AC=8，
∴AE=6，
∴GE=

1

2

AE=3，
∴OD=CG=EG+EC=3+2=5，
∴⊙O的直径为10．
故答案为：10

点评：此题考查了切线的性质，矩形的判定与性质，垂径定理，以及切割线定理，其中作出相应的辅助线是解本题的关键．