Question

20．如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的切线垂直，垂足为D，连AC．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）如图2，延长AB，交直线DC于E，若$\frac{AD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，求tan∠E．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图1，根据切线的性质得OC⊥CD，而AD⊥CD，所以OC∥AD，根据平行线的性质得∠1=∠2，加上∠1=∠2，所以∠2=∠3，于是可判断AC平分∠DAB；
（2）连结OC，如图2，由$\frac{AD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，可设AD=4x，AB=5x，则OC=OA=$\frac{5}{2}$x，接着证明△EOC∽△EAD，利用相似比可计算出EO=$\frac{25}{6}$x，然后在Rt△OCE中，根据勾股定理计算出CE=$\frac{10}{3}$x，再利用正切定义求解．

解答 （1）证明：连结OC，如图1，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
而AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：连结OC，如图2，由$\frac{AD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，可设AD=4x，AB=5x，则OC=OA=$\frac{5}{2}$x，
∵OC∥AD，
∴△EOC∽△EAD，
∴$\frac{OC}{AD}$=$\frac{EO}{EA}$，即$\frac{\frac{5}{2}x}{4x}$=$\frac{EO}{EO+\frac{5}{2}x}$，解得EO=$\frac{25}{6}$x，
在Rt△OCE中，CE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{25}{6}x）^{2}-（\frac{5}{2}x）^{2}}$=$\frac{10}{3}$x，
∴tanE=$\frac{OC}{CE}$=$\frac{\frac{5}{2}x}{\frac{10}{3}x}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质和解直角三角形．