Question

5．对于任意的实数p，q，定义运算“*”：$p*q=\frac{q}{p+q}$（p≠-q）．已知a₁=x，a₂=1*a₁，a₃=1*a₂，a₄=1*a₃，…，依此类推，可以得到一列数a₁，a₂，a₃，a₄，…．当x=2时，a₃=$\frac{2}{5}$，a₂₀₁₄=$\frac{2}{4027}$；经小丁探究发现，当x取某些特定的值，例如当x=-1时，无法计算出a₄的值，这样的x的取值还可能为$-\frac{1}{2}和-\frac{1}{3}$．（请写出所有满足条件的值）

Answer 1

分析 （1）当x=2时，a₁=2，a₂=1*2=$\frac{2}{1+2}=\frac{2}{3}$，a₃=1*$\frac{2}{3}$=$\frac{\frac{2}{3}}{1+\frac{2}{3}}=\frac{2}{5}$，a₄=1*$\frac{2}{5}$=$\frac{\frac{2}{5}}{1+\frac{2}{5}}=\frac{2}{7}$，…，所以这列数a₁，a₂，a₃，a₄，…，每一个数的分子都是2，a_n的分母是2n-1，据此求出a₂₀₁₄的值是多少即可；
（2）根据题意，无法计算出a₄的值，则a₂=-1或a₃=-1，分别令a₂=-1，a₃=-1，求出这样的x的取值还可能为多少即可．

解答 解：（1）当x=2时，a₁=2，
a₂=1*2=$\frac{2}{1+2}=\frac{2}{3}$，
a₃=1*$\frac{2}{3}$=$\frac{\frac{2}{3}}{1+\frac{2}{3}}=\frac{2}{5}$，
a₄=1*$\frac{2}{5}$=$\frac{\frac{2}{5}}{1+\frac{2}{5}}=\frac{2}{7}$，
…，
所以这列数a₁，a₂，a₃，a₄，…，每一个数的分子都是2，a_n的分母是2n-1，
所以a₂₀₁₄=$\frac{2}{2×2014-1}=\frac{2}{4027}$；

（2）令a₂=-1，
则$\frac{x}{1+x}=-1$，
解得x=-$\frac{1}{2}$；
令a₃=-1，
则$\frac{{a}_{2}}{1{+a}_{2}}=-1$，
解得${a}_{2}=-\frac{1}{2}$，
所以$\frac{x}{1+x}$=-$\frac{1}{2}$，
解得x=-$\frac{1}{3}$，
综上，可得这样的x的取值还可能为$-\frac{1}{2}和-\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{5}；\frac{2}{4027}$；$-\frac{1}{2}和-\frac{1}{3}$．

点评 此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：这列数a₁，a₂，a₃，a₄，…，每一个数的分子都是2，a_n的分母是2n-1．