Question

（2013•静安区二模）已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，AH=5，CD=4

5

，点E在⊙O上，射线AE与射线CD相交于点F，设AE=x，DF=y．
（1）求⊙O的半径；
（2）如图，当点E在弧AD上时，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果EF=

3

2

，求DF的长．

Answer 1

分析：（1）连接OD，设⊙O的半径OA=OD=r，根据垂径定理得DH=

1

2

DC=2

5

，在Rt△OHD中利用勾股定理得到r²-（5-r）²=（2

5

）²，然后解方程即可得到圆的半径；
（2）作OG⊥AE，垂足为G，根据垂径定理得AG=

1

2

AE=

1

2

x且易得△AOG∽△AFH，则AG：AH=AO：AF，可解得AF=

45

x

，再在Rt△AHF中利用勾股定理得到FH=

AF2-AH2

=

5

x

81-x2

，然后利用DF=FH-DH即可得到y与x的关系式，当E与D重合时，x最大，则有0＜x≤3

5

；
（3）分类讨论：当点E在弧AD上时，由AF-AE=EF可解出x=6，再代入y与x的关系式中得到DF=

5

2

；当点E在弧DB上时，由AE-AF=EF，可求得x=

15

2

，然后根据勾股定理计算出BE=

3 11

2

，再利用△AHF∽△AEB得到FH：BE=AH：AE，解得FH=

11

，所以DF=DH-FH=2

5

-

11

；当点E在BC弧上时，同上得FH=

11

，然后利用DF=DH+FH计算即可．

解答：解：（1）连接OD，设⊙O的半径OA=OD=r，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴DH=

1

2

DC=

1

2

×4

5

=2

5

，
在Rt△OHD中，∵OD²-OH²=DH²，OH²=（AH-OA）²=（5-r）²，
∴r²-（5-r）²=（2

5

）²，解得r=

9

2

，
∴⊙O的半径为

9

2

；

（2）作OG⊥AE，垂足为G，如图，
∴AG=

1

2

AE=

1

2

x，
∴△AOG∽△AFH，
∴AG：AH=AO：AF，即

1

2

x：5=

9

2

：AF，解得AF=

45

x

，
∴FH=

AF2-AH2

=

( 45 x )2-52

=

5

x

81-x2

，
∵DF=FH-DH，
∴y关于x的函数解析式为y=

5

x

81-x2

-2

5

，
定义域为0＜x≤3

5

；

（3）当点E在弧AD上时，如图，∵AF-AE=EF，即

45

x

-x=

3

2

，
化为整式方程得2x²+3x-90=0，解得x₁=-

15

2

（舍去），x₂=6，
∴DF=y=

5

6

81-62

-2

5

=

5

2

；
当点E在弧DB上时，如图，∵AE-AF=EF，即x-

45

x

=

3

2

，
化为整式方程得2x²-3x-90=0，解得x₁=

15

2

，x₂=-6（舍去），
∵AB为直径，
∴∠E=90°，
∴△AHF∽△AEB，BE=

AB2-AE2

=

3 11

2

，
∴FH：BE=AH：AE，即FH：

3 11

2

=5：

15

2

，解得FH=

11

∴DF=DH-FH=2

5

-

11

当点E在BC弧上时，同上得FH=

11

，
∴DF=DH+FH=2

5

+

11

．
综上，DF的长为

5

2

或2

5

-

11

或2

5

+

11

．

点评：本题考查了圆的综合题：垂径定理和圆周角定理在有关圆的几何证明或几何计算中常用到；利用三角形相似比或勾股定理进行计算几何是常用的方法．