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求过(-1,0),(3,0),(1,-5)三点的抛物线的解析式,并画出该抛物线.
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解:设抛物线的解析式为y=ax
2
+bx+c
将点(-1,0)(3,0)(1,-5)代入得
,
解得
所以抛物线的解析式为
抛物线的图象如图所示:
分析:先设出抛物线的解析式为y=ax
2
+bx+c,再将点(-1,0)(3,0)(1,-5)代入解析式中,即可求得抛物线的解析式.
点评:本题主要考查了二次函数的解析式的求法,比较简单,要熟练掌握.
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如图,已知抛物线C
1
的解析式为y=-x
2
+2x+8,图象与y轴交于D点,并且顶点A在双曲线上.
(1)求过顶点A的双曲线解析式;
(2)若开口向上的抛物线C
2
与C
1
的形状、大小完全相同,并且C
2
的顶点P始终在C1上,证明:抛物线C
2
一定经过A点;
(3)设(2)中的抛物线C
2
的对称轴PF与x轴交于F点,且与双曲线交于E点,当D、O、E
、F四点组成的四边形的面积为16.5时,先求出P点坐标,并在直线y=x上求一点M,使|MD-MP|的值最大.
如图,在直角坐标系中,⊙M与y轴相切于点C,与x轴交于A(x
1
,0),B(x
2
,0)两点,其中x
1
,x
2
是方程x
2
-10x+16=0的两个根,且x
1
<x
2
,连接MC,过A、B、C三点的抛物线的顶点为N.
(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)判断直线NA与⊙M的位置关系,并说明理由;
(3)一动点P从点C出发,以每秒1个单位长的速度沿CM向点M运动,同时,一动点Q从点B出发,沿射线BA以每秒4个单位长度的速度运动,当P运动到M点时,两动点同时停止运动,当时间t为何值时,以Q、O、C为顶点的三角形与△PCO相似?
(2012•铁岭)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是梯形,BC∥AD,∠BAD+∠CDA=90°,且tan∠BAD=2,AD在x轴上,点A的坐标(-1,0),点B在y轴的正半轴上,BC=OB.
(1)求过点A、B、C的抛物线的解析式;
(2)动点E从点B(不包括点B)出发,沿BC运动到点C停止,在运动过程中,过点E作EF⊥AD于点F,将四边形ABEF沿直线EF折叠,得到四边形A
1
B
1
EF,点A、B的对应点分别是点A
1
、B
1
,设四边形A
1
B
1
EF与梯形ABCD重合部分的面积为S,F点的坐标是(x,0).
①当点A
1
落在(1)中的抛物线上时,求S的值;
②在点E运动过程中,求S与x的函数关系式.
早晨小欣与妈妈同时从家里出发,小欣步行上学、妈妈骑自行车上班,两人的行进方向正好相反,规定从家往学校的方向为正,如图是她们离家的路程(米)与时间(分钟)之间的函数图象,妈妈骑车走了10分钟时接到小欣的电话,立即以原速度返回前往学校,若已知小欣步行的速度为50米/分钟,妈妈骑车速度为250米/分钟,并且妈妈与小欣同时到达
学校,完成下列问题:
(1)求点A、点C的坐标;
(2)求过O、B两点的直线方程;
(3)求小欣早晨上学需要的时间.
如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,过 A、B、D三点的圆交CB的延长线于点E.
(1)求证:AE=CE.
(2)若EF与过A、B、D三点的圆相切于点E,交AC的延长线于点F,若CD=CF=2cm,求过 A、B、D三点的圆的直径.
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