Question

在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作第1个正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作第2个正方形A₂B₂C₂C₁，…，按这样的规律进行下去，第2016个正方形的面积是　　　　　　．

　

Answer 1

5×（）⁴⁰³²【考点】正方形的性质；坐标与图形性质．

【专题】规律型．

【分析】先利用勾股定理求出AB=BC=AD，再用三角形相似得出A₁B=，A₂B₂=（）²，找出规律A₂₀₁₆B₂₀₁₆=（）²⁰¹⁶，即可．

【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），

∴OA=1，OD=2，BC=AB=AD=

∵正方形ABCD，正方形A₁B₁C₁C，

∴∠OAD+∠A₁AB=90°，∠ADO+∠OAD=90°，

∴∠A₁AB=∠ADO，

∵∠AOD=∠A₁BA=90°，

∴△AOD∽△A₁BA，

∴，

∴，

∴A₁B=，

∴A₁B₁=A₁C=A₁B+BC=，

同理可得，A₂B₂==（）²，

同理可得，A₃B₃=（）³，

同理可得，A₂₀₁₆B₂₀₁₆=（）²⁰¹⁶，

∴S正方形C₂₀₁₅C₂₀₁₆B₂₀₁₆A₂₀₁₆=[（）²⁰¹⁶]²=5×（）⁴⁰³²，

故答案为5×（）⁴⁰³²

【点评】此题是正方形的性质题，主要考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是求出几个正方形的边长，找出规律．