Question

如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连接CD、AD．
（1）求证：DB平分∠ADC；
（2）若BE=3，ED=6，求AB的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）等弦对等角可证DB平分∠ABC；
（2）易证△ABE∽△DBA，根据相似三角形的性质可求AB的长．
解答：（1）证明：∵AB=BC，
∴，（2分）
∴∠BDC=∠ADB，
∴DB平分∠ADC；（4分）

（2）解：由（1）可知，
∴∠BAC=∠ADB，
又∵∠ABE=∠ABD，
∴△ABE∽△DBA，（6分）
∴，
∵BE=3，ED=6，
∴BD=9，（8分）
∴AB²=BE•BD=3×9=27，
∴AB=3．（10分）
点评：本题考查圆周角的应用，找出对应角证明三角形相似，解决实际问题．