题目内容

如图1，D是△ABC的边BC上一点，AH⊥BC于H，S_△ABD= $数学公式$ BD•AH，S_△ADC= $数学公式$ DC•AH，则 $数学公式$ ，因此，利用三角形的面积比可以来表示两条线段的比，甚至用三角形面积的比来证明与线段比有关的命题．

请解决下列问题：
已知：如图2，直线l与△ABC的边AB、AC交于D、F，与BC的延长线交于E，连接BF、AE．
（1）求证： $数学公式$ ；
（2）求证： $数学公式$ • $数学公式$ • $数学公式$ =1．

证明：（1）过A、B分别作DE的垂线段AM、BN，如图．
∵S_△AEF= $\text{[math]}$ EF•AM，S_△BEF= $\text{[math]}$ EF•BN，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∵在△ADM与△BDN中，
$\text{[math]}$ ，
∴△ADM∽△BDN，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（2）设F到BE的距离为h，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
同理，得到 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又由（1）得出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
将这三个式子相乘，得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =1．
即 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =1．
分析：（1）过A、B分别作DE的垂线段AM、BN，根据同底的两个三角形面积之比等于高之比，得出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，再证明△ADM∽△BDN，由相似三角形对应边成比例得出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，进而证明出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
（2）根据同高的两个三角形面积之比等于底之比，得出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，又由（1）得出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，将这三个式子相乘，即可证明出结论．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，利用三角形的面积比表示两条线段的比，同时考查了学生的理解能力及知识的迁移能力，难度适中．（1）问分别作出△AEF与△BEF中EF边上的高是解题的关键．