Question

如图，正方形ABCD中，G是BC中点，DE⊥AG于E，BF⊥AG于F，GN∥DE，M是BC延长线上一点。

（1）求证：△ABF≌△DAE

（2）尺规作图：作∠DCM的平分线，交GN于点H（保留作图痕迹，不写作法和证明），试证明GH=AG

Answer 1

解：∵ 四边形ABCD是正方形

∴ AB=BC=CD=DA     

∠DAB=∠ABC=90° 

∴ ∠DAE+∠GAB=90° 

∵ DE⊥AG   BF⊥AG

∴ ∠AED=∠BFA=90°

∠DAE +∠ADE=90°

    ∴ ∠GAB =∠ADE   

在△ABF和△DAE中

    ∴ △ABF≌△DAE   

（2）作图略   方法1：作HI⊥BM于点I 

∵ GN∥DE

∴ ∠AGH=∠AED=90°

∴ ∠AGB+∠HGI=90°

∵ HI⊥BM

∴ ∠GHI+∠HGI=90°

∴ ∠AGB =∠GHI 

∵ G是BC中点

∴ tan∠AGB=

∴ tan∠GHI= tan∠AGB=

∴ GI=2HI     

∵ CH平分∠DCM

∴ ∠HCI=

∴ CI=HI

∴ CI=CG=BG=HI   

在△ABG和△GIH中

∴ △ABG≌△GIH   

∴ AG=GH   

方法2： 作AB中点P，连结GP  

∵ P、G分别是AB、BC中点 且AB=BC

∴ AP=BP=BG=CG    ∴ ∠BPG=45°

∵ CH平分∠DCM

∴ ∠HCM=

∴ ∠APG=∠HCG=135

∵ GN∥DE

∴ ∠AGH=∠AED=90°

∴ ∠AGB+∠HGM=90°

∵ ∠BAG+∠AGB=90°

∴ ∠BAG =∠HGM   

在△AGP和△GHC中

∴ △AGP≌△GHC  

∴ AG=GH