Question

已知：如图，⊙O中，直径AB=5，在它的不同侧有定点C和动点P，BC：CA=4：3，点P在

AB

上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．
（l）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；
（2）当点P运动到

AB

的中点时，求CQ的长；
（3）当点P运动到

AB

什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．

Answer 1

分析：（1）由题意得，∠ACB=90°，由勾股定理得BC，AC，即可得出CD，PC，则△ACB∽△PCQ，

AC

PC

=

BC

CQ

，求得CQ；
（2）根据已知得BE，再由三角函数得出PE，PC，从而求出CQ；
（3）点P在

AB

上运动时，有CQ=

4

3

PC．当PC最大时，CQ取到最大值，即可求得CQ最大值．

解答：解：（1）当点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，（1分）
∵AB=5，BC：CA=4：3，
∴BC=4，AC=3，
∵AC•BC=AB•CD，
∴CD=

12

5

．（2分），
∴PC=

24

5

．
在Rt△ACB和Rt△PCQ中，
∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ，
∴△ACB∽△PCQ，
∴

AC

PC

=

BC

CQ

，
∴CQ=

4

3

PC=

32

5

；（3分）

（2）当点P运动到

AB

的中点时，过点B作BE⊥PC于点E．
∵点P是

AB

的中点，
∴∠PCB=45°，
BE=CE=

2

2

BC=2

2

．（4分）
在Rt△EPB中，tan∠EPB=

BE

PE

=

4

3

∴PE=

3

4

BE=

3 2

2

．
∴PC=PE+CE=

7 2

2

．（5分）．
∴CQ=

4

3

PC=

14 2

3

．（6分）

（3）点P在

AB

上运动时，恒有CQ=

4

3

PC．
所以PC最大时，CQ取到最大值，
当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ最大值为

20

3

．（7分）

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理和解直角三角形，是中考压轴题，难度偏大．