Question

已知如图（1）：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．
（1）写出线段EF与BE、CF间的数量关系？（不证明）
（2）若AB≠AC，其他条件不变，如图（2），图中线段EF与BE、CF间是否存在（1）中数量关系？请说明理由．
（3）若△ABC中，AB≠AC，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F，如图（3），这时图中线段EF与BE，CF间存在什么数量关系？请说明理由．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质,平行线的性质

专题：

分析：（1）根据平行线和角平分线容易得到EO=BE，FO=FC，可得到结论；
（2）仍然存在，可利用角平分线的定义和平行线的性质得到EO=BE，OF=CF，可得出EF=BE+CF；
（3）同样的方法可证得EO=BE，FO=CF，可得到EF=BE-CF．

解答：解：
（1）EF=BE+CF；
（2）仍然有EF=BE+CF．理由如下：
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO=∠OBC，
∴∠EOB=∠EBO，
∴OE=BE，同理OF=FC，
∴EF=EO+OF=BE+CF；
（3）EF=BE-CF．理由如下：
∵OE∥BC，
∴∠EOC=∠OCD，
∵CO平分∠ACD，
∴∠FCO=∠OCD，
∴∠FCO=∠FOC，
∴OF=CF，
同理可得到BE=EO，
∴EF=EO-FO=BE-CF．

点评：本题主要考查等腰三角形的判定及平行线的性质，根据条件证得BE=OE、CF=OF是解题的关键．