Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AC⊥BC，
（1）求证：△ADC∽△BCA；
（2）若AB=9，CD=4，求AC的长．

Answer 1

（1）证明：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，
∴∠ACD=∠BAC，∠D=180°-∠DAB=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠D，
∴△ADC∽△BCA；

（2）解：∵△ADC∽△BCA；
∴，
∴AC²=AB•CD，
∵AB=9，CD=4，
∴AC²=9×4=36，
∴AC=6．
分析：（1）由在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AC⊥BC，根据平行线的性质，易证得∠ACD=∠BAC，∠ACB=∠D=90°，然继而可证得：△ADC∽△BCA；
（2）由△ADC∽△BCA，根据相似三角形对应边成比例，即可求得AC的长．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．