Question

9．如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）证明：DE为⊙O的切线；
（2）若BC=4，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由平行线的判定定理可得OD∥AC，利用平行线的性质得∠ODE=∠DEA=90°，可得DE为⊙O的切线；
（2）连接CD，由BC为直径，利用圆周角定理可得∠ADC=90°，由∠A=30°，AC=BC=4，利用锐角三角函数可得AD．

解答 （1）证明：连接OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠B，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∴∠ODB=∠A，
∴OD∥AC，
∴∠ODE=∠DEA=90°，
∴DE为⊙O的切线；

（2）解：连接CD，
∵BC为直径，
∴∠ADC=90°，
∵∠A=30°，
又∵AC=BC=4，
∴AD=AC•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了圆周角定理，平行线的性质及判定定理，作出恰当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键．