Question

正方形ABCD内接于⊙O，E、F分别为DA、DC的中点，过E、F作弦MN，若⊙O的半径为12．
（1）求弦MN的长；
（2）连结OM、ON，求圆心角∠MON的度数．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：

分析：（1）首先连接OE，OF，OD，OM，ON，由正方形ABCD内接于⊙O，E、F分别为DA、DC的中点，易得四边形OEDF是正方形，继而可得OG=

1

2

OD=

1

2

OM，然后由勾股定理求得MG的长，由垂径定理即可求得答案；
（2）由OG=

1

2

OM，可求得∠M的度数，继而求得答案．

解答：解：（1）连接OE，OF，OD，OM，ON，
∵E、F分别为DA、DC的中点，
∴OE⊥AD，OF⊥CD，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC=90°，AD=CD，
∴四边形OEDF是矩形，OE=OF，
∴四边形OEDF是正方形，
∴OG=

1

2

OD=

1

2

×12=6，OD⊥MN，
∴MG=

OA2-OG2

=6

3

，
∴MN=2MG=12

3

；

（2）∵在Rt△MOG中，OM=2OG，
∴∠M=30°，
∵OM=ON，
∴∠N=∠M=30°，
∴∠MON=120°．

点评：此题考查了正多边形与圆的知识、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．