Question

如图，相距40km的两个城镇A，B之间有一个圆形的湖泊，它的圆心落在AB连线的中点O，半径为10km，现要修建一条连接两城镇的公路．经过论证，认为AA′+

A′B′

+B′B为最短路线．（其中AA′，BB′都与⊙O相切），你能计算出这段公路的长度吗？（结果精确到0.1km）

Answer 1

考点：切线的性质,弧长的计算

专题：应用题

分析：连结OA′、OB′，如图，根据切线的性质得OA′⊥AA′，OB′⊥BB′，再计算出OA=OB=

1

2

AB=20，在Rt△OAA′中，利用正弦的定义可求出∠A=30°，则∠AOA′=60°，AA′=

3

OA′=10

3

，同理可得∠BOB′=60°，BB′=10

3

，于是∠A′OB′=60°，接着根据弧长公式计算出弧A′B′的长度，然后求AA′+

A′B′

的长+B′B的值即可．

解答：解：连结OA′、OB′，如图，
∵AA′，BB′都与⊙O相切，
∴OA′⊥AA′，OB′⊥BB′，
∵点O为AB的中点，
∴OA=OB=

1

2

AB=20，
而OA′=OB′=10，
在Rt△OAA′中，∵sin∠A=

OA′

OA

=

10

20

=

1

2

，
∴∠A=30°，
∴∠AOA′=60°，AA′=

3

OA′=10

3

，
同理可得∠BOB′=60°，BB′=10

3

，
∴∠A′OB′=60°，
∴弧A′B′的长度=

60•π•10

180

=

10

3

π，
∴这段公路的长度=10

3

+

10

3

π+10

3

≈45.1（km）．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了弧长公式．