Question

在△ABC中，AC＞BC，M是它的外接圆上弧ACB的中点，AC上的点X使得MX⊥AC，AC=10，XC=3，则BC=

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：连结AM、BM，MC，作MN⊥BC的延长线于点N，就可以得出△BNM≌△AXM，就有BN=AX．由△CMN≌△CMX就可以得出CN=CX，进而就可以求出BC的值．

解答：解：连结AM、BM，MC，作MN⊥BC的延长线于点N，
∴∠BNM=90°．
∵MX⊥AC，
∴∠AXM=∠MXC=90°，
∴∠MXC=∠BNM=∠AXM．
∵M是它的外接圆上弧ACB的中点，
∴BM=AM．
∴∠ABM=∠BAM．
∵∠ACM=∠ABM，
∴∠ACM=∠BAM．
∵∠MCN=∠BAM，
∴∠MCN=∠ACM．
在△BNM和△AXM中，

∠CBM=∠CAM BM=AM ∠BNM=∠AXM

，
∴△BNM≌△AXM（ASA），
∴BN=AX．
∵AC=10，XC=3，
∴AX=7，
∴BN=7．
在△CMN和△CMX中

∠BNM=∠MXC ∠MCN=∠ACM CM=CM

，
∴△CMN≌△CMX（AAS），
∴CN=CX，
∴CN=3．
∵BC=BN-CN，
∴BC=7-3=4．
故答案为：4．

点评：本题考查了等腰三角形的判定及性质的运用，圆周角定理的运用，圆的内接四边形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．