Question

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点。

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H。判断FH与FC的数量关系并加以证明；
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明。

Answer 1

解：（1）FH与FC的数量关系是：FH=FC； 证明：延长交于点G， 由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF， ∴DG∥CB， ∵点D为AC的中点， ∴点G为AB的中点，且DC=AC， ∴DG为△ABC的中位线， ∴， ∵AC=BC， ∴DC=DG， ∴DC-DE=DG-DF，即EC=FG， ∵∠EDF=90°，FH⊥FC， ∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°， ∴∠1=∠2， ∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形， ∴∠DEF=∠DGA=45°， ∴∠CEF=∠FGH=135°， ∴△CEF≌△FGH， ∴CF=FH； （2）FH与FC仍然相等。