题目内容

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b与反比例函数 $数学公式$ 的图象交于点A，与x轴交于点B，AC⊥x轴于点C， $数学公式$ ，AB=10，OB=OC．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若一次函数与反比例函数的图象的另一交点为D，连接OA、OD，求△AOD的面积．

解：（1）∵AC⊥x轴于点C，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中， $\text{[math]}$ ，
设AC=3a，BC=4a，
则 $\text{[math]}$ ，
∴5a=10解得：a=2，
∴AC=6，BC=8，
又∵OB=OC，
∴OB=OC=4，
∴A（-4，6）B（4，0），
将A（-4，6）B（4，0）代入y=kx+b，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴直线AB的解析式为： $\text{[math]}$ ，
将A（-4，6）代入 $\text{[math]}$ ，
得： $\text{[math]}$ ，
解得：m=-24，
∴反比例函数解析式为 $\text{[math]}$ ；

（2）联立 $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴D（8，-3），
∴S_△AOD=S_△AOB+S_△DOB= $\text{[math]}$ •OB•|y_A|+ $\text{[math]}$ •OB•|y_D|= $\text{[math]}$ ×4×6+ $\text{[math]}$ ×4×3=18．
分析：（1）首先根据AC⊥x轴于点C可知∠ACB=90°，在Rt△ABC中，根据题干条件求出AC和BC的值，即可求出A和B两点的坐标，又知A、B在直线y=kx+b上，列出二元一次方程组，求出k和b；
（2）联立反比例函数和一次函数的解析式，求出交点坐标，然后根据S_△AOD=S_△AOB+S_△DOB求得面积的值．
点评：本题主要考查反比例函数与一次函数交点问题的知识点，解答本题的关键是进行数形结合进行解题，要熟练掌握反比例函数的性质，本题是一道比较不错的习题．