Question

20．如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．
（1）求证：BE=DG；
（2）若∠B=60°，当BC=$\frac{3}{2}$AB时，四边形ABFG是菱形；
（3）若∠B=60°，当BC=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$AB时，四边形AECG是正方形．

Answer 1

分析 （1）根据平移的性质，可得：BE=FC，再证明Rt△ABE≌Rt△CDG可得：DG=FC；即可得到BE=DG；
（2）要使四边形ABFG是菱形，须使AB=BF；根据条件找到满足AB=BF时，BC与AB的数量关系即可；
（3）当四边形AECG是正方形时，AE=EC，由AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，可得EC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，再有BE=$\frac{1}{2}$AB可得BC=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$AB．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD．
∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成，
∴CG⊥AD．AE=CG
∴∠AEB=∠CGD=90°．
∵在Rt△ABE与Rt△CDG中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=DG}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△CDG（HL），
∴BE=DG．

（2）解：当BC=$\frac{3}{2}$AB时，四边形ABFG是菱形．
证明：∵AB∥GF，AG∥BF，
∴四边形ABFG是平行四边形．
∵Rt△ABE中，∠B=60°，
∴∠BAE=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB（直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半），
∵BE=CF，BC=$\frac{3}{2}$AB，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB．
∴AB=BF．
∴四边形ABFG是菱形．
故答案是：$\frac{3}{2}$；    

（3）解：BC=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$AB时，四边形AECG是正方形．
∵AE⊥BC，GC⊥CB，
∴AE∥GC，∠AEC=90°，
∵AG∥CE，
∴四边形AECG是矩形，
当AE=EC时，矩形AECG是正方形，
∵∠B=60°，
∴EC=AE=AB•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，BE=$\frac{1}{2}$AB，
∴BC=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$AB．
故答案是：$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质，正方形的判定，菱形的判定，以及直角三角形的性质．关键是熟练掌握菱形的判定定理，以及平行四边形的性质．