Question

如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足b=

a2-4 + 4-a2 +16

a+2

．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点M为直线y=mx在第一象限上一点，且△ABM是等腰直角三角形，求m的值．

Answer 1

分析：（1）利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可求得a的值，进而求得b的值，利用待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）分当BM⊥BA，且BM=BA时；当AM⊥BA，且AM=BA时；当AM⊥BM，且AM=BA时三种情况进行讨论，利用全等三角形的判定与性质即可求解．

解答：解：（1）根据题意得：a²-4=0，解得：a=2或-2（舍去）．
当a=2时，b=4．
设直线AB的解析式是：y=kx+b，则

2k+b=0 b=4

，
解得：

k=-2 b=4

，
则直线的解析式是：y=-2x+4；
（2）①当BM⊥BA，且BM=BA时，作MN⊥y轴于点N．
∵△BMN≌△ABO，
∴M的坐标是（4，6），则m=

3

2

；
②当AM⊥BA，且AM=BA时，作MN⊥x轴于点N．
则△BOA≌△ANM，
∴M的坐标是（6，2）．
则m=

1

3

；
③当AM⊥BM，且AM=BA时，构建正方形，m=1．
综上所述，m的值为

3

2

或

1

3

或1．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次根式有意义的条件，以及全等三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是关键．