Question

如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为C′，再将所折得的图形沿EF折叠，使得点D和点A重合．若AB=3，BC=4，求折痕EF的长．

Answer 1

分析：首先由折叠的性质与矩形的性质，证得△BND是等腰三角形，则在Rt△ABN中，利用勾股定理，借助于方程即可求得AN的长，又由△ANB≌△C′ND，易得：∠FDM=∠ABN，由三角函数的性质即可求得MF的长，又由中位线的性质求得EM的长，则问题得解．

解答：解：设BC′与AD交于N，EF与AD交于M，
根据折叠的性质可得：∠NBD=∠CBD，AM=DM=

1

2

AD，∠FMD=∠EMD=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC=4，∠BAD=90°，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠NBD=∠ADB，
∴BN=DN，
设AN=x，则BN=DN=4-x，
∵在Rt△ABN中，AB²+AN²=BN²，
∴3²+x²=（4-x）²，
∴x=

7

8

，
即AN=

7

8

，
在△ANB和△C′ND中，

∠ANB=∠C′ND ∠BAD=∠C′ AB=C′D

，
∴△ANB≌△C′ND（AAS），
∴∠FDM=∠ABN，
∴tan∠FDM=tan∠ABN，
∴

AN

AB

，
∴

7 8

3

=

MF

2

，
∴MF=

7

12

，
由折叠的性质可得：EF⊥AD，
∴EF∥AB，
∵AM=DM，
∴ME=

1

2

AB=

3

2

，
∴EF=ME+MF=

3

2

+

7

12

=

25

12

．

点评：此题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想与方程思想的应用．