Question

【题目】如图，一次函数的图象过两点.

（1）求直线的函数表达式

（2）直线交轴于点为直线上一动点

①求的最小值;

②是直线上任意一点，为直线上另一动点，若是以为直角边长的等腰直角三角形，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）y=-x+3 （2）① ② D(-1,0) D(，)

【解析】

（1）代入A,B点的坐标，即可求出解析式；

（2）①由点到直线距离最短为垂线段，根据△ACE为等腰直角三角形求出CE即可

②分类讨论：当DE为斜边时，D点和C重合，根据上问直接写出即可；

当DF为斜边时，D点和C重合，根据上问直接写出即可；

当EF为斜边时，作出△DEF，GN⊥x轴 ED延长线交GN于M，通过△EGD∽△AGC，求出GE的值，根据勾股定理求出GM，即可求出D的纵坐标，代入解析式 得到D的坐标

解：（1）设直线的函数表达式为 y=kx+b

将代入

得 解得

直线的函数表达式为 y=-x+3

（2）①如图

作CE⊥AB于E

∵直线交轴于点C

∴ C(-1,0)

∵

∴△AOB为等腰直角三角形，∠BAO=45°

∴△CEA为等腰直角三角形

∵AC=4

∴CE=

②

如上图当以DE为斜边时，DF=

∵ CE=

∴ C与D重合

∴D(-1,0)

如上图当以DF为斜边时,DE= 同理

得到D(-1,0)

如图

当以EF为斜边时，DE=DF= ∠DEF=∠DFE=45°

根据题意两直线解析式可以求出G（-3,6）

如上图作出△DEF，GN⊥x轴 ED延长线交GN于M

得到GN=6 AG=

∵∠DEF=45° ∠CAB=45°

∴DE∥AC

∵∠AGC是△EGD和△AGC的公共角

∴△EGD∽△AGC

∴

解得GE=6

∵∠DEF=45°

∴GM=

∴MN=

∴D 点的纵坐标为

代入中，解得x=

∴D(，)

故答案为：（1）y=-x+3 （2）① ② D(-1,0) D(，)