题目内容

如图，△A₁A₂B是直角三角形，∠A₁A₂B=90°，且A₁A₂=A₂B=4，A₂A₃⊥A₁B，垂足为A₃，A₃A₄⊥A₂B，垂足为A₄，A₄A₅⊥A₃B，垂足为A₅，A₅A₆⊥A₄B，垂足为A₆，…以此类推，则线段A_2nA_2n+1（n为正整数）的长为________．

$\text{[math]}$
分析：根据等腰直角三角形的直角边与斜边的关系求出A₂A₃，再根据等腰直角三角形斜边上的高线平分斜边可得A₄A₅= $\text{[math]}$ A₂A₃，以此类推，后一条线段是前一条线段的 $\text{[math]}$ ，然后写出线段A_2nA_2n+1即可得解．
解答：∵∠A₁A₂B=90°，A₁A₂=A₂B=4，A₂A₃⊥A₁B，
∴A₂A₃= $\text{[math]}$ A₁A₂= $\text{[math]}$ ×4=2 $\text{[math]}$ ，
∵A₃A₄⊥A₂B，A₄A₅⊥A₃B，
∴A₄为A₂B的中点，A₅为A₃B的中点，
∴A₄A₅= $\text{[math]}$ A₂A₃= $\text{[math]}$ ×2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即A_2×2A_2×2+1= $\text{[math]}$ ，
…，
以此类推，A₆A₇= $\text{[math]}$ A₄A₅= $\text{[math]}$ ，即A_2×3A_2×3+1= $\text{[math]}$ ，
…，
A_2nA_2n+1= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，主要利用了等腰直角三角形直角边是斜边的 $\text{[math]}$ ，等腰直角三角形斜边上的高线也是斜边的中线，三角形的三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．