Question

（本小题满分7分）如图，已知半径为2的⊙O与直线相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4）

（1）当时，求弦PA、PB的长度；

（2）当x为何值时，的值最大？最大值是多少？

Answer 1

【解析】

试题分析：根据切线和直径的性质得出∠PCA=∠APB，根据垂直得出PC∥AB从而说明△PCA和△APB相似，根据相似比得出=PC·AB，然后计算出AP的长度，根据Rt△ABP的勾股定理得出PB的长度；过O作OE⊥PD，根据垂径定理得出PE=DE=x－2，从而得出CD=4－x，然后利用一元二次方程求出最大值.

试题解析：（1）∵⊙O与直线l相切于点A，AB为⊙O的直径，∴AB⊥l.

又∵PC⊥l，∴AB∥PC. ∴∠CPA=∠PAB. ∵AB为⊙O的直径，∴∠APB=90°.

∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB. ∴ 即=PC·AB

∵PC=，AB=4，∴PA==. ∴在Rt△APB中，由勾股定理得：PB=.

（2）过O作OE⊥PD，垂足为E. ∵PD是⊙O的弦，OF⊥PD，∴PF=FD.

在矩形OECA中，CE=OA=2，∴PE=ED=x－2. ∴CD=PC－PD=x－2（x－2）=4－x

∴PD·CD=2（x－2）·（4－x）=－2+12x－16=－2+2

∵2＜x＜4 ∴当x=3时，PD·CD有最大值，最大值是2.

考点：圆的基本性质、相似三角形、勾股定理.

考点分析： 考点1：圆 圆，圆的有关性质与圆的有关计算是近几年各地中考命题的重点内容。题型以填空题，选择题和解答题为主，也有以阅读理解，条件开放，结论开放探索题作为新的题型，分值一般是6-12分，难易度为中，考察内容：①圆的有关性质的应用。垂径定理是重点。② 直线和圆，圆和圆的位置关系的判定及应用。③弧长，扇形面积，圆柱，圆锥的侧面积和全面积的计算④圆与相似三角形，三角函数的综合运用以及有关的开放题，探索题。突破方法：①熟练掌握圆的有关行政，掌握求线段，角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化。②理解直线和原的三种位置关系，掌握切线的性质和判定的歌，会根据条件解决圆中的动态问题。③掌握有两圆半径的和或差与圆心距的大小关系来盘底的那个两个圆的位置关系，对中考试题中常出现的阅读理解题，探索题，要灵活运用圆的有关性质，进行合理推理与计算。④掌握弧长，扇形面积计算公式。⑤理解圆柱，圆锥的侧面展开图⑥对组合图形 的计算要灵活运用计算方法解题。 试题属性

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