题目内容
自然数n的正约数共有10个，则n的最小值是 ．
【答案】分析：根据正整数的约数个数定理进行解答，即一个整数N（N＞1），如果它的标准分解式为，那么它的约数个数为（1+a1）（1+a2）…（1+an）．
解答：解：设 则n的正约数的个数=（1+a1）（1+a2）…（1+ak），
∵10=1×10=2×5，
∴（1+a1）（1+a2）=1×10或（1+a1）（1+a2）=2×5，
由 1+a1=1得a1=0，
1+a2=10得a2=9，
∴此时最小的n为：29=512，
由1+a1=2得a1=1，
1+a2=5得a2=4，
∴此时最小的n为：24×31=16×3=48，
因此，具有10个正约数的自然数n的最小值为48．
故答案为：48．
点评：本题考查的是质因数的分解，熟知正整数的约数个数定理是解答此题的关键．
解答：解：设 则n的正约数的个数=（1+a1）（1+a2）…（1+ak），
∵10=1×10=2×5，
∴（1+a1）（1+a2）=1×10或（1+a1）（1+a2）=2×5，
由 1+a1=1得a1=0，
1+a2=10得a2=9，
∴此时最小的n为：29=512，
由1+a1=2得a1=1，
1+a2=5得a2=4，
∴此时最小的n为：24×31=16×3=48，
因此，具有10个正约数的自然数n的最小值为48．
故答案为：48．
点评：本题考查的是质因数的分解，熟知正整数的约数个数定理是解答此题的关键．
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