Question

如图，抛物线y=-x²+mx+n经过△ABC的三个顶点，点A坐标为（0，3），点B坐标为（2，3），点C在x轴的正半轴上．
（1）求该抛物线的函数关系表达式及点C的坐标；
（2）点E为线段OC上一动点，以OE为边在第一象限内作正方形OEFG，当正方形的顶点F恰好落在线段AC上时，求线段OE的长；
（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动．设平移的距离为t，正方形DEFG的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）在上述平移过程中，当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时，请直接写出重叠部分的面积S与平移距离t的函数关系式及自变量t的取值范围；并求出当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=-x²+mx+n经过点A（0，3），B（2，3），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+x+3．
令y=0，即-x²+x+3=0，
解得x=6或x=-4，
∵点C位于x轴正半轴上，
∴C（6，0）．

（2）当正方形的顶点F恰好落在线段AC上时，如答图1所示：

设OE=x，则EF=x，CE=OC-OE=6-x．
∵EF∥OA，
∴△CEF∽△COA，
∴，即，
解得x=2．
∴OE=2．

（3）存在满足条件的t．理由如下：
如答图2所示，

易证△CEM∽△COA，∴，即，得ME=2-t．
过点M作MH⊥DN于点H，则DH=ME=2-t，MH=DE=2．
易证△MNH∽△COA，∴，即，得NH=1．
∴DN=DH+HN=3-t．
在Rt△MNH中，MH=2，NH=1，由勾股定理得：MN=．
△DMN是等腰三角形：
①若DN=MN，则3-t=，解得t=6-；
②若DM=MN，则DM²=MN²，即2²+（2-t）²=（）²，
解得t=2或t=6（不合题意，舍去）；
③若DM=DN，则DM²=DN²，即2²+（2-t）²=（3-t）²，解得t=1．
综上所述，当t=1、2或6-时，△DMN是等腰三角形．

（4）当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时，如答图3所示：

设EF、DG分别与AC交于点M、N，由（3）可知：ME=2-t，DN=3-t．
设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B（2，3）、C（6，0）代入得：
，
解得，
∴y=x+．
设直线BC与EF交于点K，
∵x_K=t+2，∴y_K=x_K+=t+3，
∴FK=y_F-y_K=2-（t+3）=t-1；
设直线BC与GF交于点J，
∵yJ=2，
∴2=x_J+，得x_J=，
∴FJ=x_F-x_J=t+2-=t-．
∴S=S_{正方形DEFG}-S_梯形MEDN-S_△FJK
=DE²-（ME+DN）•DE-FK•FJ
=2²-[（2-t）+（3-t）]×2-（t-1）（t-）
=t²+2t-．
过点G作GH⊥y轴于点H，交AC于点I，则HI=2，HJ=，
∴t的取值范围是：2＜t＜．
∴S与t的函数关系式为：S=t²+2t-（2＜t＜）．
S=t²+2t-=（t-）²+1，
∵＜0，且2＜＜，
∴当t=时，S取得最大值，最大值为1．
分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，令y=0解方程，求出点C的坐标；
（2）如答图1所示，由△CEF∽△COA，根据比例式列方程求出OE的长度；
（3）如答图2所示，若△DMN是等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论；
（4）当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时，如答图3所示．利用S=S_{正方形DEFG}-S_梯形MEDN-S_△FJK求出S关于t的表达式，然后由二次函数的性质求出其最值．
点评：本题是典型的运动型二次函数压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、相似三角形、勾股定理、图形面积计算、最值问题等知识点，考查了运动型问题、存在型问题和分类讨论的数学思想，难度较大．解题关键是理解图形的运动过程．