Question

【题目】如图，一次函数y1＝mx+n与反比例函数y2＝ （x＞0）的图象分别交于点A（a，4）和点B（8，1），与坐标轴分别交于点C和点D．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）观察图象，当x＞0时，直接写出y1>y2的解集；

（3）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y1＝﹣x+5， y2=；（2）2＜x＜8；（3）点P的坐标为（2，0）或（0，0）时，△COD与△ADP相似．

【解析】

（1）先将点B代入反比例函数解析式中求出反比例函数的解析式，然后进一步求出A的坐标，再将A,B代入一次函数中求一次函数解析式即可；

（2）根据图象和两函数的交点即可写出y1>y2的解集；

（3）先求出C,D的坐标，从而求出CD,AD,OD的长度，然后分两种情况：当时，△COD∽△APD；当时，△COD∽△PAD，分别利用相似三角形的性质进行讨论即可．

解：（1）把B（8，1）代入反比例函数中，

则，解得

∴反 比 例 函 数 的 关 系 式 为 ，

∵点 A（a，4）在 图象上，

∴ a＝＝2，即A（2，4）

把A（2，4），B（8，1）两点代入y1＝mx+n中得

解得：，

所以直线AB的解析式为：y1＝﹣x+5；反比例函数的关系式为y2=，

（2）由图象可得，当x＞0时，y1>y2的解集为2＜x＜8．

（3）由（1）得直线AB的解析式为y1＝﹣x+5，

当x＝0时，y＝5，

∴ C（0，5），

∴ OC＝5，

当y＝0时，x＝10，

∴D点坐标为（10，0）

∴ OD＝10，

∴ CD＝＝

∵A（2，4），

∴ AD＝＝4

设P点坐标为（a，0），由题可知，点P在点D左侧，则PD＝10﹣a

由∠CDO＝∠ADP可得

①当时，，如图1

此时，

∴，解得a＝2，

故点P坐标为（2，0）

②当时，，如图2

当时，，

∴，解得a＝0，

即点P的坐标为（0，0）

因此，点P的坐标为（2，0）或（0，0）时，△COD与△ADP相似．