Question

设x为正实数，则函数y=x²-x+

1

x

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：这个题目是将二次函数y=x²-x与反比例函数y=

1

x

作叠加，然后进行两次配方：y=（x-1）²+（

x

-

1

x

）²+1≥1，因而x=1时，y有最小值1．

解答：解：∵x为正实数，
∴由函数y=x²-x+

1

x

，得
y=（x-1）²+（

x

-

1

x

）²+1，
∵（x-1）²≥0，（

x

-

1

x

）²≥0，
∴（x-1）²+（

x

-

1

x

）²+1≥1，即y≥1；
∴函数y=x²-x+

1

x

的最小值是1．
故答案是：1．

点评：本题主要考查了函数最值问题．解答该题时，将二次函数y=x²-x与反比例函数y=

1

x

作叠加，然后进行两次配方：y=（x-1）²+（

x

-

1

x

）²+1≥1或y=

(x2-1)(x-1)

x

+1≥1，要求学生在掌握二次函数求最值（配方法）的基础上，做综合性与灵活性的运用．