Question

如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠ACB=75°，∠BAC=45°，AC=

6

，点E为半径为1的⊙C上一点，设△ABE的面积为S，则S的取值范围是（　　）

• A．1≤S≤2+

  3

• B．1≤S≤1+

  3

• C．

  3

  -1≤S≤

  3

  +1
• D．

  3

  +1≤S≤2+

  3

Answer 1

分析：过C点作CH⊥AB于H，交⊙C于E₁、E₂点，则E点运动到E₁点时S最小，E点运动到E₂点时S最大，易得△ACH为等腰直角三角形，则AH=CH=

3

，∠ACH=45°，
再由∠ACB=75°得∠BCH=30°，根据含30°的直角三角形三边的关系得BH=

3

3

CH=1，AB=

3

+1，则HE₁=

3

-1，=

3

+1，然后根据三角形面积公式得到
△ABE₁的面积=1，△ABE₂的面积=2+

3

，于是得到1≤S≤2+

3

．

解答：解：过C点作CH⊥AB于H，交⊙C于E₁、E₂点，则E点运动到E₁点时S最小，E点运动到E₂点时S最大，
∵∠BAC=45°，
∴△ACH为等腰直角三角形，
而AC=

6

，
∴AH=CH=

2

2

AC=

3

，∠ACH=45°，
∵∠ACB=75°，
∴∠BCH=30°，
在Rt△BCH中，BH=

3

3

CH=1，
∴AB=AH+BH=

3

+1，
∵HE₁=CH-CE₁=

3

-1，HE₂=CH+CE₂=

3

+1，
∴△ABE₁的面积=

1

2

×（

3

-1）×（

3

+1）=1，△ABE₂的面积=

1

2

×（

3

+1）×（

3

+1）=2+

3

，
∴1≤S≤2+

3

．
故选A．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练运用圆的有关性质进行几何计算；含30°的直角三角形和等腰直角三角形三边的关系要记住．