Question

如图，D是等边△ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，连接DE交AC于F，过D点作DG⊥AC于G点．
（1）证明：AG=

1

2

AD；
（2）若DF=EF，求证：CE=AD．

Answer 1

分析：（1）由△ABC是等边三角形就可以得出∠A=60°，由DG⊥AC就可以得出∠AGD=90°，从而得出∠ADG=30°，就可以得出结论；
（2）过点D作DH∥BC交AC于点H，可以得到△DHF≌△ECF，就有DH=CE，再证明△ADH是等边三角形就可以得出结论．

解答：解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵DG⊥AC，
∴∠AGD=90°，
∵∠ADG=30°，
∴AG=

1

2

AD；
（2）过点D作DH∥BC交AC于点H，
∴∠ADH=∠B，∠AHD=∠ACB，∠FDH=∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=∠A=60°，
∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴DH=AD，
在△DHF和△ECF中，

∠FDH=∠E ∠DFH=∠EFC DF=EF

，
∴△DHF≌△ECF（AAS），
∴DH=CE，
∴CE=AD．

点评：本题考查了等边三角形判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，平行线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时作DH∥BC是难点，证明三角形全等是关键．