Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠B=90°，AD=1，AB=5，BC=4，点P是线段AB上一个动点，点E是CD的中点，延长PE至F，使EF=PE．
（1）判定四边形PCFD的形状；
（2）当AP的长为何值时，四边形PCFD是矩形；
（3）求四边形PCFD的周长的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可判定四边形PCFD的形状；
（2）设AP=x，利用△APD∽△BCP的对应边成比例即可求得．
（3）延长DA到G，使AG=AD、当点G、P、C共线时CP+PD最小，利用勾股定理分别求出PD、PC的长，然后可得GC，然后即可求出四边形PCFD的周长的最小值．

解答：解：（1）∵点E是CD的中点，即EC=DE，
又∵EF=PE，
∴四边形PCFD为平行四边形；

（2）设AP=x，
∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠B=90°，
∴△APD∽△BCP．
∴x：4=1：（5-x）．解得x₁=1，x₂=4；
答；当AP的长为1或4时，四边形PCFD是矩形；

（3）延长DA到G，使AG=AD、当点G、P、C共线时CP+PD最小，最小值为GC
GC=PD+PC，
∵∠A=∠B=90°，AD=1，AB=5，BC=4，
∴PD=

2

，PC=4

2

，
∴GC=5

2

．
∴四边形PCFD的周长的最小值为10

2

．

点评：此题涉及到的知识点较多，有勾股定理，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，直角梯形，相似三角形的判定与性质，综合性强，有一定的拔高难度，是一道很典型的题目．