Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，DE是斜边AB的垂直平分线，且DE=1cm，则AC=

 

．

Answer 1

考点：角平分线的性质,线段垂直平分线的性质,含30度角的直角三角形

专题：

分析：利用角平分线性质得到ED=EC，利用HL得出直角△BDE与直角△BCE全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=BC，又DE垂直平分AB，得到AD=BD，且AE=BE，设AE=BE=xcm，则由AE+EC表示出AC，在直角三角形ADE中，利用勾股定理表示出AD，即为BC，由AB=2AD表示出AB，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出AC的长．

解答：解：∵BE平分∠ABC，ED⊥BA，EC⊥BC，
∴ED=EC=1cm，又BE=BE，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），
∴BD=BC，
又∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，AD=BD，
设AE=BE=xcm，则有AC=（x+1）cm，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得：AD²+DE²=AE²，
∴AD=BC=

x2-1

cm，AB=2AD=2

x2-1

cm，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AB²=AC²+BC²，
即4（x²-1）=（x+1）²+x²-1，
整理得：（x-2）（x+1）=0，
解得：x=2或x=-1（舍去），
故AC=2+1=3cm．
故答案是：3cm．

点评：此题考查了角平分线定理，线段垂直平分线定理，以及勾股定理，利用了转化的思想，熟练掌握定理是解本题的关键．