Question

14．如图①所示，已知AE⊥FE，垂足为E，且E是DC的中点
（1）如图①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分别为C、D，且AD=DC，判断AE是∠FAD的角平分线吗？（不必说明理由）
（2）如图②，如果（1）中的条件去掉“AD=DC”，其余条件不变，（1）中的结论成立吗？请说明理由．
（3）如图③，如果（1）的条件改为，AD∥FC，（1）中的结论仍成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）AE是∠FAD的角平分线；延长FE交AD于点B，易证△FCE≌△BDE，则EF=EB，又AE⊥FE，根据线段垂直平分线的性质可得结论；
（2）成立，延长FE交AD于点B，易证△FCE≌△BDE，则EF=EB，又AE⊥FE，根据线段垂直平分线的性质可得结论；
（3）成立，延长FE交AD于点B，证△FCE≌△BDE即可．

解答 解：（1）AE是∠FAD的角平分线；
（2）成立，如图②，延长FE交AD于点B，
∵E是DC的中点，
∴EC=ED，
∵FC⊥DC，AD⊥DC，
∴∠FCE=∠EDB=90°，
在△FCE和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FEC=∠DEB}\\{EC=ED}\\{∠FCE=∠EDB}\end{array}\right.$，
∴△FCE≌△BDE，
∴EF=EB，
∵AE⊥FE，
∴AF=AB，
∴AE是∠FAD的角平分线；
（3）成立，如图③，延长FE交AD于点B，
∵AD=DC，
∴∠FCE=∠EDB，
在△FCE和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FEC=∠DEB}\\{EC=ED}\\{∠FCE=∠EDB}\end{array}\right.$，
∴△FCE≌△BDE，
∴EF=EB，
∵AE⊥FE，
∴AF=AB，
∴AE是∠FAD的角平分线；

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形三线合一的性质，延长FE交AD于点B，发现△FCE与△BDE一定全等是解决问题的关键．