Question

如图，△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，PQ∥AB，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上．试问：在AB上是否存在点M，使△PQM为等腰直角三角形？若存在，求PQ的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：AC=8，BC=6，由勾股定理得：AB=10，
设PC=x，
∵PQ∥AB，
∴=，
∵PC=x，BC=10，AC=8，代入可求出，
∵△PQM为等腰直角三角形，
∴讨论哪个角为直角如下：
（1）当∠MPQ为直角时，则可得，
∴，
在△ABC中，而在△PMA中，
∴得，从而．（若∠MQP为直角类似）

（2）当∠PMQ为直角时，则可得PM=MQ=，
过P作PN⊥AB于N，
易得，
同（1）得
∴．
分析：由于PQ的位置是变化的，故可以使△PQM为等腰直角三角形，设PC=x，当△PQM为等腰直角三角形时，有三种情况：
1、当∠MPQ为直角时，可得到PM=PQ=x，而在△ABC中，而在△PMA中，建立方程可求得x的值，从而求得PQ的值．
2、若∠MQP为直角，与1类似；
3、当∠PMQ为直角时，则可得PQ=MQ=，过P作PN⊥AB于N，易得，即可求得PQ的值．
点评：本题利用了等腰直角三角形的性质，正弦的概念求解．