Question

如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(0，8)．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒(t＞0)．

(1)当t＝3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；

(2)在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；

(3)当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？

Answer 1

分析　(1)根据A、B的坐标，可得到OA＝6、OB＝8、AB＝10；当t＝3时，AN＝5，即N是AB的中点，由此得到点N的坐标．然后利用待定系数法求出抛物线的解析式．

(2)△MNA中，过N作MA边上的高NC，先由∠BAO的正弦值求出NC的表达式，而AM＝OA－OM，由三角形的面积公式可得到关于S_△MNA、t的函数关系式，利用所得函数的性质即可求出△MNA的最大面积．

(3)首先求出N点的坐标，然后表示出AM、MN、AN三边的长；由于△MNA的腰和底不确定，若该三角形是等腰三角形，可分三种情况讨论：①MN＝NA、②MN＝MA、③NA＝MA；直接根据等量关系列方程求解即可．

解　(1)由题意，A(6，0)、B(0，8)，

则OA＝6，OB＝8，AB＝10；

当t＝3时，AN＝t＝5＝AB，

即N是线段AB的中点；∴N(3，4)．

设抛物线的解析式为：y＝ax(x－6)，则：

4＝3a(3－6)，a＝－；

∴抛物线的解析式：y＝－x(x－6)＝－x²＋x.

(2)过点N作NC⊥OA于C；

由题意，AN＝t，AM＝OA－OM＝6－t，

NC＝NA·sin∠BAO＝t·＝t；

则：S_△MNA＝AM·NC＝×(6－t)×t＝－(t－3)²＋6.

∴△MNA的面积有最大值，且最大值为6.

(3)Rt△NCA中，AN＝t，

NC＝AN·sin∠BAO＝t，

AC＝AN·cos∠BAO＝t；

∴OC＝OA－AC＝6－t，∴N.

∴NM＝ ＝ ；

又：AM＝6－t，AN＝ t(0＜t＜6)；

①当MN＝AN时，＝t，

即：t²－8t＋12＝0，t₁＝2，t₂＝6(舍去)；

②当MN＝MA时， ＝6－t，

即：t²－12t＝0，t₁＝0(舍去)，t₂＝；

③当AM＝AN时，6－t＝t，即t＝；

综上，当t的值取2或或时，

△MAN是等腰三角形．