题目内容

在预防流感期间某住宅小区的活动室坚持天天消毒，下图是某次消毒时活动室内空气中消毒液浓度y（单位：毫克/立方米）随时间 x（单位：分钟）的变化情况图．从开始喷药到喷药结束的10分钟内（包括第十分钟），y是x的二次函数；喷药结束后（从第十分钟开始），y是x的反比例函数．
（1）如果点A是图中二次函数的顶点，求二次函数和反比例函数的解析式（要写出自变量取值范围）；
（2）已知空气中消毒液浓度y不少于15毫克/立方米且持续时间不少于8分钟才能有效消毒，通过计算，请你回答这次消毒是否有效？

解：（1）依题意可知，A（10，20）为抛物线顶点，设二次函数解析式为y=a（x-10）²+20，
把O（0，0）代入，得100a+20=0，a=- $\text{[math]}$ ，所以，二次函数解析式为y=- $\text{[math]}$ （x-10）²+20（0≤x≤10），
设反比例函数关系式为y= $\text{[math]}$ ，将A点坐标代入，得k=xy=200，
所以，反比例函数关系式为y= $\text{[math]}$ （x＞10）；

（2）把y=15代入y=- $\text{[math]}$ （x-10）²+20中，得=- $\text{[math]}$ （x-10）²+20=15，
解得x=5或x=15（舍去），
把y=15代入y= $\text{[math]}$ 中，得x=13 $\text{[math]}$ ，
而13 $\text{[math]}$ -5=8 $\text{[math]}$ ＞8，
所以，这次消毒有效．
分析：（1）由A（10，20）为抛物线顶点，设二次函数的顶点式，将O（0，0）代入可求二次函数解析式，再根据图象求自变量取值范围，设反比例函数关系式为y= $\text{[math]}$ ，将A点坐标代入求k的值即可，再根据图形求自变量取值范围；
（2）将y=15分别代入二次函数、反比例函数解析式求x，再把所求的两个x值作差，进行判断．
点评：本题考查了二次函数、反比例函数的应用．关键是根据图象的条件求两个函数的解析式，根据函数值求自变量x的值．