Question

如图，二次函数y=ax²+bx+2的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B，点C在这个二次函数的图象上，且∠ABC=90°，∠CAB=∠BAO，．
（1）求点A的坐标；
（2）求这个二次函数的解析式．

Answer 1

解：（1）二次函数y=ax²+bx+2的图象y轴的交点为B（0，2），
在Rt△AOB中，
∵OB=2，，
∴OA=4，
∴点A的坐标（4，0）．

（2）过点C作CD⊥y轴，垂足为D，
∵∠CDB=∠ABC=∠AOB=90°，
∴∠CBD=180°-∠ABC-∠ABO=90°-∠ABO=∠BAO．
∴△CDB∽△BOA，
∵∠CAB=∠BAO，
∴，
∴．
∵OB=2，
∴CD=1，BD=2，
∴OD=4．
∴C（1，4）．
∵点A、C在二次函数y=ax²+bx+2的图象上，
∴
∴
∴二次函数解析式为．
分析：（1）首先根据二次函数y=ax²+bx+2的y轴的交点B，确定出B点的坐标值（即可知线段OB的长）．再利用三角函数，求得线段OA的长，进而确定出A点的坐标值．
（2）由（1）知A点的坐标值，再求得C点的坐标值，联立组成方程组即可解得a、b的值．要求C点的值，因而过点C作CD⊥y轴，垂足为D．首先证得Rt△CDB∽Rt△BOA，利用相似三角形的性质求得CD、DB的长，进而得到C点的坐标值．
点评：本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识点．另外巧妙添加辅助线CD构造直角三角形，也是解题成功的一个关键因素；该题也是数形结合数学思想的典型题例．