Question

如图，Rt△ABC，以AB为直径作⊙O交AC于点D，

BD

=

DE

，过D作AE的垂线，F为垂足．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若DF=12，⊙O的半径为13，求EF．

Answer 1

分析：（1）要证明DF为⊙O的切线只要证明OD⊥DF即可；
（2）根据已知可求得AM，ME的长，从而可求得EF的长．

解答：（1）证明：连接DO；
∵

BD

=

DE

，
∴∠EAD=∠DAB，
∵OD=OA，
∴∠DAB=∠ODA，
∴∠EAD=∠ODA，
∴AF∥OD；
∵DF⊥AF，
∴OD⊥DF即∠ODF=90°，
∴DF为⊙O的切线．

（2）解：作OM⊥AF于M；
∵∠OMF=∠F=∠ODF=90°，
∴四边形MFDO为矩形，
∴OM=DF=12，
∴AM=5，
∴ME=5，
∴EF=8．

点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．