Question

如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O,与斜边AC交于D,E是BC边上的中点,连结DE.

(1)  DE与半圆O相切吗?若相切,请给出证明;若不相切,请说明理由;

(2)  若A D．AB的长是方程x²-10x+24=0的两个根,求直角边BC的长｡

Answer 1

、解:(1)DE与半圆O相切.    

   证明: 连结O D．BD     ∵AB是半圆O的直径

∴∠BDA=∠BDC=90° ∵在Rt△BDC中,E是BC边上的中点

∴DE=BE∴∠EBD=∠BDE

∵OB=OD∴∠OBD=∠ODB        

又∵∠ABC=∠OBD+∠EBD=90°

∴∠ODB+∠EBD=90°∴DE与半圆O相切. 

(2)解:∵在Rt△ABC中,BD⊥AC

∴ Rt△ABD∽Rt△ABC  

∴  =  即AB²=AD?AC∴ AC=

∵ A D．AB的长是方程x²-10x+24=0的两个根

∴ 解方程x²-10x+24=0得: x­­­₁=4  x₂=6

∵ AD<AB  ∴ AD=4  AB=6 ∴ AC=9 

在Rt△ABC中,AB=6 AC=9

∴ BC===3