Question

菱形ABCD边长为4，∠BAD=60°，点E是AD上一动点（不与A、D重合），点F是CD上一动点，AE+CF=4，则△BEF面积的最小值为（　　）

• A、2

  3

• B、3

  3

• C、4

  3

• D、6

  3

Answer 1

分析：根据菱形ABCD边长为4，∠BAD=60°求出菱形两条对角线的长度及ABE的边CF上的高、_^△BCF的边AE上的高，_^△DEF，进而求出菱形的面积及△ABE、_{^{△BCF的面积}}，然后根据AE+CF=4和∠ADC=120°，求出△DEF的面积；由图示可知：S_△BEF=S_菱形ABCD-S_△ABE-S_△BCF-S_△DEF，代入数值根据二次函数的性质求出最值．

解答：解：∵菱形ABCD边长为4，∠BAD=60°；
∴△ABD与△BCD为正三角形；
∴BD=4，AC=4

3

，△ABE的边AE上的高与_^△BCF的边CF上的高都为2

3

，∠ADC=120；
设AE为x，则CF为4-x；
∴S_△DEF=

1

2

ED•DFsin120°=

1

2

（4-x）[4-（4-x）]

3

2

=-

3

4

x²+

3

x；
由图示可知：S_△BEF=S_菱形ABCD-S_△ABE^--S_△BCF-S_△DEF
=

1

2

×4×4

3

-

3

CF-

3

AE-S_△DEF
=8

3

-

3

（CF+AE）-S_△DEF
=8

3

-4

3

-S_△DEF
=

3

4

x²-

3

x+4

3

；
根据二次函数的性质，△BEF面积的最小值=

-△

4a

=

4× 3 4 ×4 3 -3

3

=

9

3

=3

3

．
故选B．

点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．此题结合面积和锐角三角函数知识解答，是一道好的综合题．