Question

二次函数的图象如图所示，点A位于坐标原点，A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₀₉在y轴的正半轴上，B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₀₉在二次函数第一象限的图象上，若△AB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₀₈B₂₀₀₉A₂₀₀₉都为等边三角形，计算出△A₂₀₀₈B₂₀₀₉A₂₀₀₉的边长为    ．

Answer 1

【答案】分析：此题需要从简单的例子入手寻找各三角形边长的规律；可设出△AA₁B₁的边长为m₁，由于此三角形是正三角形，则∠B₁AA₁=60°，∠B₁Ax=30°，可用边长m₁表示出B₁的坐标，代入抛物线的解析式中，即可得到m₁的值，同理可求出△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃的边长，通过观察得到这些三角形边长值的变化规律来求得到△A₂₀₀₈B₂₀₀₉A₂₀₀₉的边长．
解答：解：设△AA₁B₁的边长为m₁；
∵△AA₁B₁是等边三角形，
∴∠A₁AB₁=60°，∠B₁Ax=30°；
故B₁（，）；
由于点B₁在抛物线的图象上，则有：
×（m₁）²=，解得m₁=1；
同理设△A₁A₂B₂的边长为m₂；
同上可得B₂（，1+）；
由于点B₂也在抛物线的图象上，则有：
×（m₂）²=+1，解得m₂=2；
依此类推，△A₂B₃A₃的边长为：m₃=3，
…
△A_nB_n+1A_n+1的边长为m_n+1=n+1；
∴△A₂₀₀₈B₂₀₀₉A₂₀₀₉的边长为2009．
点评：此题是典型的规律型试题，需要从简单的例子入手来找出题目的一般化规律，然后根据得到的规律求出特定的值．